湖南自考线性代数（经管类）综合测验题库附答案(3)

　
96.设A为n阶方阵， n≥2，则︱-5A︱=（　）
A.(-5)n︱A︱
B.-5︱A︱
C.5︱A︱
D.5n︱A︱

97.设A是4×5矩阵，秩（A）=3，则（　）
A.A中的4阶子式都不为0
B.A中存在不为0的4阶子式
C.A中的3阶子式都不为0
D.A中存在不为0的3阶子式

98.设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（　）

99.下列命题正确的是（　）
A.两个零矩阵必相等
B.两个单位矩阵必相等
C.（A+E）（A-E）=A2-E2
D.若A≠0，AB=AC则必有B=C.

100.设矩阵，则（　）
A.a=3，b=-1，c=1，d=3
B.a=-1，b=3，c=1，d=3
C.a=3，b=-1，c=0，d=3
D.a=-1，b=3，c=0，d=3

101.设A为2阶可逆矩阵，且已知，则A= （　）

102.设矩阵（　）

103.设A为反对称矩阵，下列说法正确的是（　）

104.下列结论正确的是（　）

105. 都是n阶非零矩阵，其中为A的伴随矩阵.则下列等式错误的是（　）

106.设是n阶可逆阵，O为n阶零矩阵，的逆矩阵为（　）

107.设有意义，则C是（　）矩阵.

108.设，则下列各式中恒正确的是（　）.

109.设阶零矩阵.则下列各式中正确的是（　）

110.设某3阶行列式︱A︱的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1，则此行列式︱A︱的值为（　）.
A.3
B.15
C.-10
D.8

111.设多项式则f（x）的常数项为（　）
A.4
B.1
C.-1
D.-4

112.行列式中第三行第二列元素的代数余子式的值为（　）
A.3
B.-2
C.0
D.1

113.设行列式则D1的值为（　）
A.-15
B.-6
C.6
D.15

114.设A为三阶方阵且（　）
A.-108
B.-12
C.12
D.108

115.设A是n阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（　）.

116.设A为3阶方阵，且已知（　）

117.下列等式成立的是（　）,其中为常数.

118.设（　）
A.k-1
B.k
C.1
D.k+1

119.设（　）
A.18
B.-18
C.-6
D.6

120.设行列式（　）
A.-3
B.-1
C.1
D.3

121.设都是三阶方阵，且，则下式（　）必成立.

122.下面结论正确的是（　）
A.含有零元素的矩阵是零矩阵
B.零矩阵都是方阵
C.所有元素都是0的矩阵是零矩阵
D.

123.行列式（　）

124.已知（　）

125.如果（　）

126.计算四阶行列式 =(　)。
A.（x+3a）（x-a）3
B.（x+3a）（x-a）2
C.（x+3a）2（x-a）2
D.（x+3a）3（x-a）

127.行列式D如果按照第n列展开是（　）。
A.a1nA1n+a2nA2n+...+annAnn
B.a11A11+a21A21+...+an1An1
C.a11A11+a12A21+...+a1nAn1
D.a11A11+a21A12+...+an1A1n

128.关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是（）。
A.如果行列式不等于0，则方程组必有无穷多解
B.如果行列式不等于0，则方程组只有零解
C.如果行列式等于0，则方程组必有惟一解
D.如果行列式等于0，则方程组必有零解

129.计算 =（　）。
A.18
B.15
C.12
D.24

130.λ≠（　）时，方程组只有零解。
A.1
B.2
C.3
D.4

131.设 =（）。
A.-9m
B.9m
C.m
D.3m

132.设 =（）。

133.已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1，2，3，它们的余子式分别为-1，1，2，D的值为（）
A.-3
B.-7
C.3
D.7

134.行列式中元素g的代数余子式的值为（）。
A.bcf-bde
B.bde-bcf
C.acf-ade
D.ade-acf

135.下列行列式的值为（）。

136.n阶行列式（）等于-1。

137.当a=(　)时，行列式的值为零。
A.0
B.1
C.-2
C.2

138.行列式的值等于（）。
A.abcd
B.d
C.6
D.0

139.行列式的充要条件是（）
A.a≠2
B.a≠0
C.a≠2或a≠0
D.a≠2且a≠0

140. 计算：

综合测验题库答案与解析
一、单项选择题
1. 正确答案：B
答案解析：A-1正定表明存在可逆矩阵C使CTA-1C=In，两边求逆得到
C-1A（CT） -1= C-1A（C -1）T=In
即A合同于In，A正定，因此不应选A。
C是A正定的定义，也不是正确的选择。
D表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵，于是只能B。
事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。

2. 正确答案：C
答案解析：二次型的矩阵

所以r（A）=1，故选项C正确，选项A，B，D都不正确。

3. 正确答案：D
答案解析：因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，
所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零，
|A|＞0，设APj=λjPj，则A-1Pj= Pj，A-1的n个特征值，j=1,2,…,n，必都大于零，
这说明A-1为正定阵，XTA-1X为正定二定型，同理，XTB-1X为正定二次型，
对任意n维非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX＞0。
这说明XT（A+B）X为正定二次型，
由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以XTABX未必为正定二次型。

4. 正确答案：D
答案解析：∵A、B正定
∴对任何元素不全为零的向量X永远有XTAX＞0；同时XTBX＞0。
因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是对称阵。

5. 正确答案：A
答案解析：f=xTAx=（Py） TA（Py）= y T （PTAP） y= y TBy，即B=PTAP，所以矩阵A与B一定合同。只有当P是正交矩阵时，由于PT=P-1，所以A与B即相似又合同。

6. 正确答案：C
答案解析：A的正惯性指数为t，负惯性指数为r-t，因此符号差等于2t-r。

7. 正确答案：C
答案解析：主对角线元素对应x1，x2，x3平方项系数：1，1，1。a13和a31系数的和对应x1x3的系数2

8. 正确答案：C
答案解析：x1，x2，x3平方项系数对应主对角线元素：1，0，4。x1x2系数-2，对应a12和a21系数的和，a12=-1,a21=-1。

9. 正确答案：D
答案解析：∵C是正交阵，所以CT=C-1,B= C-1AC，因此A与B相似，A对。
C是正交阵|C|不等于0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对。
两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对。
（λE-A）X=0, （λE-B）X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D。

10. 正确答案：B
答案解析：属于同一特征值的特征向量未必线性相关，比如单位阵的特征值全是1，但它有n个线性无关的特征向量，因此应选择B。

11. 正确答案：C
答案解析：C是对称阵，必相似于对角阵，故选C。

12. 正确答案：A
答案解析：|A|=5-2x，A有零特征值，得|A|=0，故x=2.5，显然应选A。

13. 正确答案：B
答案解析：∵3阶矩阵A的特征值为1,2,3
∴|λE - A | 展开式含有三个因子乘积：（λ-1）（λ-2）（λ-3）
∵|λE -A | 展开式λ3项系数为1
∴|λE - A |=（λ-1）（λ-2）（λ-3）
∵A为3阶矩阵
∴| A-λE |=（-1）3|λE - A |=（-1）3 （λ-1）（λ-2）（λ-3）
将4代入上式得到-6。

14. 正确答案：A
答案解析：设A的特征值是λ，则f（A）的特征值就是f（λ），把1,0,-1依次代入，得到3，1，1。

15. 正确答案：A
答案解析：属于不同特征值的特征向量必线性无关，因此选择A。

16. 正确答案：D
答案解析：∵设P-1AP=B ∴A=PBP-1
又∵Aα=λ0α ∴PBP-1α=λ0α
∴B（P-1α）= λ0(P-1α)

17. 正确答案：D
答案解析：A的特征向量不能是零向量，所以k1、k2不同时为零，所以A、C不对；x1、x2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和不再是其中一个方程的解，所以A的特征向量不选B。选D是因为k2=0，k1≠0，x= k1 x1仍然是A的特征向量。

18. 正确答案：A
答案解析：
得到特征值是1，1。

19. 正确答案：B
答案解析：A(a-c)=Aa-Ac=0，所以a-c是Ax=0的解。

20. 正确答案：B
答案解析：由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同，方程组必有解，因为方程组的未知数个数是6，而系数矩阵的秩为4，因此方程组有无穷多解，选B.

21. 正确答案：A
答案解析：齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形时只能进行行变换

22. 正确答案：A
答案解析：x1、x2不对应成比例，所以这两个解是线性无关的，从而基础解系中向量个数至少是2.

23. 正确答案：B
答案解析：
∴k=3时，|A|=0有非0解

24. 正确答案：C
答案解析：教材P112定理4.1.1

25. 正确答案：B
答案解析：本题考查线性方程组的解的性质，依题意知，
（β1+β2+2α1）＝（2，0），（β1+α1+α2）＝（1，0），
（β1+β2）＝（2，0），（β1-β2+α1）＝（0，0），因此选B。

26. 正确答案：C
答案解析：这是一个齐次线性方程组，只需求出系数矩阵的秩就可以判断解的情况。系数矩阵A= ，第一列乘以-2加到第二列，第一列乘以-3加到第三列，得，第二列乘以3加到第三列上，得，因此r（A）=3，系数矩阵的秩等于未知数个数，因此方程组只有零解，选C。

27. 正确答案：D
答案解析：例如，α1=（1,1）, α2=（0,2）,β=（-1,-1）
则α1,α2线性无关，而α1+β=（0,0）,α2+β=（-1,1）线性相关。
如果β=（0,0）,那么α1+β,α2+β还是线性无关的.

28. 正确答案：D
答案解析：

29. 正确答案：C
答案解析：本题考查极大无关组的定义，极大无关组必线性无关，但在原来那一组向量中任意取出一个向量加进去，就一定线性相关，由计算知α1,α2,α4线性无关，但α1,α2,α3,α4线性相关，所以选C。

30. 正确答案：B
答案解析：把向量组拼成矩阵并用初等变换求秩：

求出秩等于2.

31. 正确答案：A
答案解析：教材P100的推论

32. 正确答案：A
答案解析：向量组的任何一个部分组都能由该向量组线性表示.

33. 正确答案：B
答案解析：含有零向量的向量组必线性相关。

34. 正确答案：A
答案解析：根据线性无关组的加长向量组也无关.

35. 正确答案：A
答案解析：系数行列式等于2，判断出是线性无关的，所以选A

36.正确答案：A
答案解析：首先排除C，因为向量不可能线性相关又线性无关,只能是相关或者无关.再根据教材91页两个重要结论得出本题答案为A

37. 正确答案：B
答案解析：假定（-1，1）=λ1（1，0）+λ2（2，0）,可以知道解不出λ1和λ2

38. 正确答案：A
答案解析：假定（4，0）=λ1（-1，2）+λ2（3，2）+λ3（6，4）
=（-λ1，2λ1）+（3λ2，2λ2）+（6λ3，4λ3）
=（-λ1+3λ2+6λ3，2λ1+2λ2+4λ3）
可得方程组：
因此，第一个向量是其余向量的线性组合，而且表示不唯一，它的表示式可为：
（4，0）=-（-1，2）-（3，2）+（6，4）
或
（4，0）=-（-1，2）+（3，2）+0•（6，4）

39. 正确答案：B
答案解析：因为3x+β=γ，所以.

40. 正确答案：C
答案解析：应该是α，β对应分量都相等，可以说明α=β。

41. 正确答案：C
答案解析：C的秩等于C的列向量组的秩，也等于C的行向量组的秩，而C的列向量组的秩为n，故选C。

42. 正确答案：C
答案解析：可以把α1，α2，α3，α4组成一个矩阵，化简为阶梯形后，可见向量组的秩为3，α1，α2，α3可构成一个极大线性无关组，故选C。

43. 正确答案：B
答案解析：不妨将每个向量看成是列向量，设A=（α1,…, αs）B=（β1,…, βt），则分块阵（A，B）的秩就是r3，因为r（A,B）≤r（A）+ r（B），故r3≤ r1+ r2,即r3- r1≤r2，应该选择B。

44. 正确答案：C
答案解析：

45. 正确答案：A
答案解析：

46. 正确答案：D
答案解析：A和C显然不对，在向量线性相关的定义中，要求是不全为零的数，而现在所有的数全为零，任意一个向量组中的向量每个乘以零再求和永远等于零向量，因此无法判断这组向量是否线性相关，故应选Ｄ。

47. 正确答案：B
答案解析：AT、BT均为下三角矩阵，因此ATBT也是下三角矩阵

48. 正确答案：D
答案解析：A（A-6E）=E，因此A-1=A-6E

49. 正确答案：D
答案解析：参见教材50-51页，A0=En。

50. 正确答案：B
答案解析：二阶矩阵的伴随矩阵就是原矩阵的主对角元素互换，副对角元素换号。